Quantum hypergraph states and the theory of multiparticle entanglement

Abstract

This thesis is devoted to learning different aspects of quantum entanglement theory. More precisely, it concerns a characterization of certain classes of pure multipartite entangled states, their nonlocal and entanglement properties, comparisons with the other well-studied classes of states and, finally, their utilization in certain quantum information processing tasks.

The most extensive part of the thesis explores an interesting class of pure multipartite entangled states, quantum hypergraph states. These states are generalizations of the renowned class of graph states. Here we cover their nonlocal properties in various scenarios, derive graphical rules for unitary transformations and Pauli bases measurements. Using these rules, we characterize entanglement classes of hypergraph states under local operations, obtain tight entanglement witnesses, and calculate entanglement measures for hypergraph states. Finally, we apply all the aforementioned analysis to endorse hypergraph states as powerful resource states for measurement-based quantum computation and quantum error-correction.

The rest of the thesis is devoted to three disjoint problems, but all of them are still in the scope of entanglement theory. First, using mathematical structure of linear matrix pencils, we coarse grain entanglement in tripartite pure states of local dimensions 2 x m x n under the most general local transformations. In addition, we identify the structure of generic states for every m and n and see that for certain dimensions there is a resemblance between bipartite and tripartite entanglement. Second, we consider the following question: Can entanglement detection be improved, if in addition to the expectation value of the measured witness, we have knowledge of the expectation value of another observable? For low dimensions we give necessary and sufficient criterion that such two product observables must satisfy in order to be able to detect entanglement. Finally, we derive a general statement that any genuine N-partite entangled state can always be projected on any of its k-partite subsystems in a way that the new state in genuine k-partite entangled.

Diese Arbeit ist verschiedenen Aspekten der Verschränkungstheorie gewidmet. Genauer gesagt, beschäftigt sie sich mit der Charakterisierung verschiedener Klassen reiner mehrteilchenverschränkter Zustände, sowie ihrer nicht-lokalen und Verschränkungseigenschaften, Vergleichen mit anderen bekannten Klassen von Zuständen und, letztendlich, ihrer Verwendung in der Quanteninformationsverarbeitung.

Der größte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit einer interessanten Klasse von reinen mehrteilchenverschränkten Zuständen, den Hypergraphen Zuständen. Diese Zustände bilden eine Verallgemeinerung der weithin bekannten Graphen Zustände. Wir werden ihre nicht-lokalen Eigenschaften untersuchen und graphische Regeln für ihr Verhalten unter unitären Transformationen sowie Messungen in der Pauli Basis herleiten. Unter Verwendung dieser Regeln werden Verschränkungsklassen unter lokalen Operationen charakterisiert, und optimale Verschränkungszeugen sowie Verschränkungsmaße berechnet. Zuletzt wird, unter Berücksichtigung der vorangegangenen Analyse, gezeigt, dass Hypergraphen Zustände eine Ressource für Messungsbasierte Quantencomputer und Quantenfehlerkorrektur bilden.

Der verbleibende Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit drei unterschiedlichen Problemen im Rahmen der Verschränkungstheorie. Zuerst wird die Verschränkung reiner Dreiteilchenzustände mit lokalen Dimensionen 2 x m x n unter den allgemeinsten Transformationen untersucht. Dazu wird eine spezielle mathematische Struktur verwendet, die so genannten Matrix Pencils. Zudem identifizieren wir die Struktur von generischen Zuständen für alle m und n und wir werden sehen, dass in bestimmten Dimensionen eine Ähnlichkeit zwischen Zweiteilchen- und Dreiteilchenverschränkung besteht. Danach wird der Frage nachgegangen: Kann Verschränkungsdetektion verbessert werden, wenn man zusätzlich zum Erwartungswertes des Verschränkungszeugen noch den Erwartungswert einer anderen Observablen kennt? Für niedrige Dimensionen werden notwendige und hinreichende Bedingungen hergeleitet, die zwei Produktobservablen erfüllen müssen um Verschränkung detektieren zu können. Zuletzt wird die allgemeine Aussage bewiesen, dass jeder echte N-Teilchen verschränkte

Zustand immer auf seine k-Teilchen Subsysteme projiziert werden kann, sodass dieser Zustand echt k-Teilchen verschränkt ist.