Dualität in der Funktionalanalysis

Abstract

Unter Dualitätstheorie in der Funktionalanalysis verstehen wir im Allgemeinen, lineare stetige Funktionale zu untersuchen, um damit Informationen über den zugrunde liegenden Raum selbst zu erhalten. Entwicklungsschritte zu dieser Dualitätstheorie waren: Das erste Auftreten zweier unterschiedlicher dualer Funktionenräume in der Funktionalanalysis: Riesz’ ”zugeordnete Klassen“. Eine allgemeine Norm für lineare Folgenräume und die dazu duale Norm: Hellys Polaritätskonzept. Schließlich der Gedanke, einen Dualraum aus Funktionalen statt aus Funktionen zu bilden: Hellys und Hahns Einführung des ”polaren Raums“. Diese überaus spannende Entwicklung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wird in dieser Arbeit anhand einer gründlichen begrifflichen Analyse dargestellt. Dabei stößt man immer wieder auf die parallel verlaufende Geometrisierung, also auf die Einführung geometrischer Begriffe für Funktionen(mengen). Darüber hinaus wird die Entwicklung von Ansätzen einer Dualitätstheorie bei Räumen, die nicht notwendigerweise mit einer Norm ausgestattet sind, vorgestellt, sowie die mit der Entwicklung dualer Räume eng verbundene Entwicklung dualer Operatoren.