Jacobi forms, finite quadratic modules and Weil representations over number fields

Abstract

In analogy to the theory of classical Jacobi forms which has proven to have various important applications ranging from number theory to physics, we develop in this thesis a theory of Jacobi forms over arbitrary totally real number fields. For this end we need to develop, first of all, a theory of finite quadratic modules over number fields and their associated Weil representations. As a main application of our theory, we are able to describe explicitly all singular Jacobi forms over arbitrary totally real number fields whose indices have rank 1. We expect that these singular Jacobi forms play a similar important role in this new founded theory of Jacobi forms over number fields as the Weierstrass sigma function does in the classical theory of Jacobi forms.

In Analogie zur klassischen Theorie der Jacobiformen, die viele wichtige Anwendungen in der Zahlentheorie bis hin zur Physik hat, entwickeln wir in der vorliegenden Arbeit eine Theorie der Jacobiformen über total reellen Zahlkörpern. Hierzu müssen wir zunächst eine Theorie endlich quadratischer Moduln über Zahlkörpern und ihrer zugehörigen Weil-Darstellungen entwickeln. Als eine Hauptanwendung der hier entwickelten Theorie sind wir in der Lage, alle singulären Jacobiformen über beliebigen total reellen Zahlkörpern, deren Indizes Gitter vom Rang 1 sind, explizit zu beschreiben. Wir gehen davon aus, dass diese singulären Jacobiformen eine ähnlich wichtige Rolle in der hier begründeten Theorie der Jacobiformen über Zahlkörpern spielen werden wie es von der Weierstaßschen sigma-Funktion in der klassischen Theorie der Jacobiformen her bekannt ist.