Hecke operators on Jacobi forms of lattice index and the relation to elliptic modular forms

Abstract

Jacobi forms of lattice index, whose theory can be viewed as extension of the theory of classical Jacobi forms, play an important role in various theories, like the theory of orthogonal modular forms or the theory of vertex operator algebras. Every Jacobi form of lattice index has a theta expansion which implies, for index of odd rank, a connection to half integral weight modular forms and then via Shimura lifting to modular forms of integral weight, and implies a direct connection to modular forms of integral weight if the rank is even. The aim of this thesis is to develop a Hecke theory for Jacobi forms of lattice index extending the Hecke theory for the classical Jacobi forms, and to study how the indicated relations to elliptic modular forms behave under Hecke operators. After defining Hecke operators as double coset operators, we determine their action on the Fourier coefficients of Jacobi forms, and we determine the multiplicative relations satisfied by the Hecke operators, i.e. we study the structural constants of the algebra generated by the Hecke operators. As a consequence we show that the vector space of Jacobi forms of lattice index has a basis consisting of simultaneous eigenforms for our Hecke operators, and we discover the precise relation between our Hecke algebras and the Hecke algebras for modular forms of integral weight. The latter supports the expectation that there exist equivariant isomorphisms between spaces of Jacobi forms of lattice index and spaces of integral weight modular forms. We make this precise and prove the existence of such liftings in certain cases. Moreover, we give further evidence for the existence of such liftings in general by studying numerical examples.

Jacobiformen von Gitterindex, deren Theorie als Erweiterung der Theorie klassischer Jacobiformen betrachtet werden kann, spielen in unterschiedlichen Theorien, wie der Theorie der Modulformen auf orthogonalen Gruppen oder der Theorie der Vertexoperatoralgebren, eine bedeutende Rolle. Jede Jacobiform mit Gitterindex hat eine Theta-Entwicklung, die bei ungeradem Index eine Verbindung zu Modulformen von halbganzen Gewichten herstellt und daher via Shimura-Liftung eine Beziehung zu Modulformen ganzen Gewichts impliziert, und bei geradem Index eine direkte Verbindung zu Moldulformen ganzzahligen Gewicht suggeriert. Das Ziel dieser Dissertation ist, eine Hecke-Theorie für Jacobiformen mit Gitterindex zu entwickeln, indem die Hecke-Theorie für die klassischen Jacobiformen erweitert wird, und zu untersuchen, wie sich die angedeuteten Beziehungen zu elliptischen Moldulformen unter Hecke-Operatoren verhalten. Nachdem die Hecke-Operatoren als Doppelnebenklassen-Operatoren definiert werden, wird deren Wirkung auf die Fourier-Koeffizienten der Jacobiformen und die multiplikativen Relationen, welche von Hecke-Operatoren erfüllt werden, untersucht, indem z.B. die Struktur-Konstanten der Algebra berechnet werden, die von den Hecke-Operatoren erzeugt werden. Daraufhin wird gezeigt, dass der Vektorraum der Jacobiformen mit Gitterindex über eine Basis von simultanen Eigenformen für die Hecke-Operatoren verfügt und es wird die präzise Beziehung zwischen der Hecke-Algebra und der Hecke-Algebra für Moldulformen ganzzahligen Gewichts aufgezeigt. Letztgenannte Beziehung stützt die Erwartung, dass äquivariante Isomorphismen zwischen den Räumen der Jacobiformen mit Gitterindex und Räumen Moldulformen ganzzahligen Gewichts existieren. Es erfolgt eine Präzisierung und der Beweis, dass solche Liftungen in bestimmten Fällen existieren. Zudem geben wir weitere Argumente für die Existenz solcher Liftungen im allgemeunen Fall durch das Studium numerischer Beispiele.