Characterizing the structure of multiparticle entanglement in high-dimensional systems

Abstract

Quantenverschränkung hat sich als eine wertvolle Ressource für viele Aufgaben der Quanteninformationstheorie etabliert. Eine zunehmende Zahl von miteinander verschränkten Systemen sowie eine größere Anzahl verfügbarer Dimensionen bewirkt in diesem Zusammenhang eine Steigerung des Leistungsvermögens und der Effizienz. Um diese Ressource erfolgreich zu nutzen, ist es zuvorderst notwendig, einen konsistenten theoretischen Formalismus zu ent-wickeln, der die verschiedenen Arten von Verschränkung korrekt beschreibt und zwischen ihnen differenziert. Die vorliegende Arbeit widmet sich der Klassifikation von Verschränkung in speziellen Familien hochdimensionaler Vielteilchensysteme sowie der Detektion von Verschränkung innerhalb dieser. Diese Dissertation stellt die Forschungsergebnisse aus drei Projekten vor. Der erste Teil handelt von der Konstruktion eines Operators, eines sogenannten Verschränkungszeugen, der es ermöglicht Verschränkung innerhalb von Vielteilchensystemen zu detektieren. Der Hauptaspekt besteht hierbei in der Entwicklung einer Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen SLOCC-Zeugen und Verschränkungszeugen innerhalb eines erweiterten Hilbertraums. Die Form dieses Zeugen ist derart, dass er mit Hilfe eines Zustandes innerhalb der zu detektierenden SLOCC-Klasse und dem maximalen Überlapp dessen mit Zuständen einer inäquivalenten SLOCC-Klasse konstruiert werden kann. Das zweite Projekt basiert auf der Erweiterung einer speziellen Familie von Vielteilchenzuständen, den Qubit-Hypergraphzuständen. Sie werden auf beliebige Dimensionen verallgemeinert und als Qudit-Hypergraphen definiert. Diese Zustände werden hinsichtlich SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen untersucht und Methoden entwickelt um zwischen diesen zu unterscheiden. Interessanterweise konnte hier eine enge Verbindung zum Feld der Zahlentheorie festgestellt werden. Für tripartite Systeme in den Dimensionen drei und vier wird eine vollständige Klassifizierung unter SLOCC und LU angegeben. In den folgenden Abschnitten werden Regeln für die lokale Komplementation für Graphenzustände in nicht notwendigerweise Primzahl-Dimensionen entwickelt. Den Abschluss dieses Themas bildet eine Erweiterung der Qudit Hypergraphenzustände hin zu sogenannten gewichteten Hypergraphzuständen. Für spezielle Fälle davon werden SLOCC- und LU-Äquivalenzklassen determiniert. Der dritte und letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, auf welche Art Mehr-levelverschränkung sinnvoll definiert werden kann. Die Motivation dazu resultiert aus der Tatsache, dass es Zustände gibt, die als maximal verschränkt hinsichtlich ihrer Dimension gelten, aber trotzdem durch Systeme niedrigerer Dimension generiert werden können. Basierend darauf werden drei inäquivalente Klassen von Mehrlevelverschränkung definiert: 1) Zerlegbare Zustände (DEC), deren Korrelationen vollständig durch niedriger-dimensionale Systeme reproduziert werden können, 2) Echt mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (GMME), für deren Produktion man Kontrolle über Systeme der entsprechenden Dimension haben muss, 3) Mehrlevel-, mehrteilchenverschränkte Zustände (MME), die zerlegbar bezüglich einer bestimmten Bipartition sind. Nach den grundlegenden Definitionen werden Beispiele für jede der drei Klassen diskutiert und Methoden entwickelt, die zwischen den Klassen unterscheiden können. Im bipartiten Fall, sowie für die Unterscheidung zwischen GMME und MME, kann die Frage der Klassenzugehörigkeit analytisch beantwortet werden. Die Differenzierung hinsichtlich MME und DEC basiert weitgehend auf numerischen Methoden, wobei auch ein analytisches Kriterium existiert, das notwendig, aber nicht hinreichend ist.

Quantum entanglement is a useful resource for many quantum informational tasks. In this context, enlarging the number of participating systems as well as increasing the system dimension has proven to enhance the performance. In order to successfully use this resource, it is crucial to have a consistent theoretical description of the different kinds of entanglement that can occur within those systems. This thesis studies the classification of entanglement in special families of multipartite and higher dimensional quantum systems. Furthermore, attention is put to the detection of entanglement within these systems. There are three main projects addressed within this thesis. The first is concerned with the detection of entanglement between multiple systems based on the construction of entanglement witnesses. Here, a one-to-one connection between SLOCC-witnesses and entanglement witnesses within an enlarged Hilbert space is made. The form of the witness operator is such that it can be constructed from any representative state of the corresponding SLOCC class and its maximal overlap with the set of separable states or the set of states within another SLOCC class. Within the second part, a special family of multipartite quantum states, the so-called qubit hypergraph states, is generalized to arbitrary dimensions. Following the definition of the basic framework, relaying strongly on the phase-space description of quantum states, rules to categorize qudit hypergraph states with respect to SLOCC- as well as LU-equivalence are determined. Interestingly, there exist close connections to the field of number theory. Furthermore, a full classification in terms of SLOCC and LU is provided for tripartite systems of dimension three and four. Within the subsequent section, rules for local complementation within graph states of not-neccssarily prime dimension are presented. Finally, an extension to weighted hypergraphs is made and, for some particular cases, SLOCC equivalence classes are determined. The third and last part of this thesis is dedicated to the question of how to reasonably define genuine multilevel entanglement. Starting from an example, a discrepancy of the widely used term of a maximally entangled state and the practical resources needed to produce such a state is shown. This motivates a definition of genuine multilevel entanglement that adapts to the fact that genuine d-level entangled states should need at least d-dimensional resource states. Based on this, the set of entangled multilevel states is then divided into three classes: decomposable (DEC-) states that can be generated from lower dimensional systems, genuine multilevel, multipartite entangled (GMME-) states, whose correlations cannot be reproduced by lower dimensional systems and multilevel, multipartite entangled (MME-) states which lie in between. That is, the last class covers the set of states, which are decomposable with respect to some bipartition. Naturally, within the bipartite scenario, the set of MME-states coincides with the set of decomposable states. Having set the framework, examples for all three classes are provided, as well as methods to distinguish between those. In the bipartite scenario, an analytical criterion is presented that additionally can be used to differ MME from GMME in the multipartite case. To distinguish MME-states from DEC- states has proven to be more involved, nonetheless there exist successful numerical optimization protocols as well as an necessary but not sufficient analytical criterion.