Lattice-Boltzmann-Verfahren hoher Ordnung zur Simulation kompressibler Strömungen

Abstract

In dieser Arbeit wird eine kompressible Semi-Lagrangesche Lattice-Boltzmann-Methode neu entwickelt und erprobt. Die Lattice-Boltzmann-Methode ist ein Verfahren zur numerischen Strömungssimulation, das auf einer Modellierung von Partikeldichten und deren Interaktion untereinander basiert. In ihrer Ursprungsform ist die Methode jedoch auf schwach kompressible Strömungen mit niedriger Machzahl beschränkt. Wesentliche Nachteile der bisherigen Versuche zur Erweiterung auf supersonische Strömungen sind entweder mangelhafte Stabilität der Verfahren, unpraktikabel große Geschwindigkeitssätze oder die Beschränktheit auf kleine Zeitschrittweiten. Als Alternative zu bisherigen Ansätzen wird in dieser Arbeit ein Semi-Lagrangescher Strömungsschritt eingesetzt. Semi-Lagrangesche Verfahren entkoppeln mittels Interpolation die Orts-, Zeit- und Geschwindigkeitsdiskretisierung der ursprünglichen Lattice-Boltzmann-Methode. Nach der Einleitung wird im zweiten und dritten Kapitel dieser Arbeit zunächst auf die Grundlagen und Prinzipien der Lattice-Boltzmann-Methode eingegangen sowie bisherige Ansätze zur Simulation kompressibler Strömungen aufgeführt. Im Anschluss wird die kompressible Semi-Lagrangesche Lattice-Boltzmann-Methode entwickelt und beschrieben. Die Erweiterung erfolgt im Wesentlichen durch die Verknüpfung der Methode mit geeigneten Gleichgewichtsfunktionen und Geschwindigkeitssätzen. Im vierten Kapitel der Arbeit werden neue Kubatur-basierte Geschwindigkeitssätze entwickelt und getestet, darunter ein D3Q45-Geschwindigkeitssatz zur Berechnung kompressibler Strömungen, der den Rechenaufwand gegenüber konventionellen Geschwindigkeitsdiskretisierungen erheblich verringert. Im fünften Kapitel der Arbeit werden zur Validierung Simulationen von eindimensionalen Stoßrohren, zweidimensionalen Riemann-Problemen und Stoß-Wirbel-Interaktionen durchgeführt. Im Anschluss zeigen Simulationen von dreidimensionalen, kompressiblen Taylor-Green-Wirbeln sowie von wandgebundenen Testfällen die Vorteile der Methode für kompressible Strömungssimulationen. Zu diesem Zweck werden die Überschallströmung um ein zweidimensionales NACA-0012-Profil und um eine dreidimensionale Kugel sowie eine supersonische Kanalströmung untersucht. Dem Simulationsteil folgt eine umfangreiche Diskussion der Semi-Lagrangeschen Lattice-Boltzmann-Methode im Vergleich zu anderen Methoden. Die Vorteile der Methode, wie vergleichsweise große Zeitschrittweiten, körperangepasste Netze und die Stabilität der Methode, werden hier herausgearbeitet.

In this thesis, a compressible semi-Lagrangian lattice Boltzmann method is newly developed and tested. The lattice Boltzmann method is a rapidly advancing numerical method for computational fluid dynamics. However, in its original form, the lattice Boltzmann method is limited to weakly compressible flows with low Mach number. Previous attempts to extend the lattice Boltzmann method to supersonic flows suffered either from poor stability, from impractically large velocity sets, or from small time step sizes. As an alternative to previous approaches, a semi-Lagrangian streaming step is used in this work. Semi-Lagrangian methods decouple the spatial, time, and velocity space discretization of the original lattice Boltzmann method by interpolation during the streaming step. Following the introduction, the second and third chapters of this thesis first detail the basics of the lattice Boltzmann method and list previous approaches to simulate compressible flows. Subsequently, the compressible semi-Lagrangian lattice Boltzmann method is developed and described. In the fourth chapter of the thesis, new cubature-based velocity sets are developed and tested, including a D3Q45 velocity set for the computation of compressible flows, which significantly reduces the computational cost compared to conventional velocity discretizations. In the fifth chapter of the thesis, simulations of one-dimensional shock tubes, two-dimensional Riemann problems, and shock-vortex interactions are performed for validation. Thereafter, simulations of compressible Taylor-Green vortices as well as wall-bounded problems demonstrate the advantages of the method for compressible flow simulations. The latter include the supersonic flow around a two-dimensional NACA-0012 profile and around a three-dimensional sphere as well as a supersonic channel flow. The simulation section is followed by an extensive discussion of the semi-Lagrangian lattice Boltzmann method in comparison to other methods. The advantages of the method include comparatively large time step sizes, compatibility with body-fitted meshes, and the intrinsic stability of the method even without artificial viscosity.